ระบบจำนวนจริง

ลบ แก้ไข

• ระบบจำนวนจริง

     จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย

     1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265...

     2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น
 เขียนแทนด้วย 0.5000...
 เขียนแทนด้วย 0.2000...
 
 
  
• ระบบจำนวนตรรกยะ
     จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ

     1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น

     2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม

   
• ระบบจำนวนเต็ม
     จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน

1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I - โดยที่
          I - = {..., -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I - เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ

2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)

3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่
         I+ = {1, 2, 3, 4, ...}
เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

         จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่
                           N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...}

 
• ระบบจำนวนเชิงซ้อน
     นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
 x2 = -1 ∴ x = √-1 = i
 x2 = -2∴ x = √-2 = √2 i
 x2 = -3∴ x = √-3 = √3 i

     จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i

     ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers)

• สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง

     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

     1. สมบัติการสะท้อน a = a
     2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
     3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
     4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
     5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc
    
• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง
     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

    1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

    2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

    3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c

    4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

    5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

 

• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

     1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

     2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba

     3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c

     4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1

    นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

    5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0

    นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0

     6. สมบัติการแจกแจง

               a( b + c ) = ab + ac

               ( b + c )a = ba + ca

     จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้
  
ทฤษฎีบทที่ 1กฎการตัดออกสำหรับการบวก
 เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
 

ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b

 

ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c

  
ทฤษฎีบทที่ 2กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
 เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
 ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
 ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c
  
ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
 a · 0 = 0
 0 · a = 0
  
ทฤษฎีบทที่ 4เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
 (-1)a = -a
 a(-1) = -a
  
ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
 ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
  
ทฤษฎีบทที่ 6 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
 

a(-b) = -ab

 (-a)b = -ab
 (-a)(-b) = ab
  
      เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น
  
• การลบจำนวนจริง
  
บทนิยามเมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
 a- b = a + (-b)
 นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b
  
• การหารจำนวนจริง
  
บทนิยามเมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0
 
= a(b-1)
 
นั่นคือคือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b

บทนิยามสมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป
 

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0

 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n"
  
ตัวอย่างเช่น
x3 - 2x2 + 3x -4 = 0
 4x2 + 4x +1 = 0
 2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0
  
• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2
          สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ
  
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
 เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
 โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
 ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ
 การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)
 
นั่นคือ เศษของ คือ f(c)
  
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
 เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
 โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
 พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0
 
ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ คือ 0
 แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว
 นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x)
  
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
 เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
 โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
 ถ้า x -เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม
 ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว
 (1) m จะเป็นตัวประกอบของ an
 (2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0
  
 ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้
       1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้
 f() = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
 
      2. นำ x - c หรือ x - ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร
 จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1
       3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 2x2 - x + 2= 0
วิธีทำให้ f(x) = x3 - 2x2 - x + 2
 ∴ f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0
 ∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
 
= x2 - x - 2
           x3 - 2x2 - x + 2 = (x-1)(x2 - x - 2)
                                    = (x-1)(x-2)(x+1)
 x3 - 2x2 - x + 2 = 0
 (x-1)(x-2)(x+1) = 0
                        x = 1, 2, -1
 ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
วิธีทำให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18
 ∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0
 ∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
 ∴ x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18)
                                     = (x-1)(x-3)(x-6)
 x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
 (x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0
                        x = 1, 3, 6
 ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0
วิธีทำให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3
 ∴ f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0
            = 27 - 9 - 15 - 3
            = 0
 ∴ x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x)
 ∴ x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1)
                            = (x-3)(x+1)(x+1)
 x3 - x2 - 5x - 3 = 0
 (x-3)(x+1)(x+1) = 0
                         x = 3, -1
 ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = 0
วิธีทำให้ f(x) = 2x3 - 3x2 - 17x +30
 ∴ f(2) = 2(2)3 -3(2)2 -17(2) +30 = 0
            = 16 - 12 - 34 +30
            = 0
 ∴ x - 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
 ∴ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = (x-2)(2x2 + x - 15)
                                      = (x-2)(2x - 5)(x+3)
 2x3 - 3x2 - 17x + 30 = 0
 (x - 2)(2x - 5)(x + 3) = 0
 
x =2,
, -3
 
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-3, 2, }
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซตคำตอบของสมการ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = 0
วิธีทำให้ f(x) = 6x3 + 11x2 - 4x - 4
  ∴ f(-2) = 6(-2)3 -11(-2)2 -4(-2) - 4= 0
            = -48 + 44 + 8 - 4
            = 0
 ∴ x + 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
 ∴ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = (x+2)(6x2 - x - 2)
                                     = (x+2)(3x-2)(2x+1)
 6x3 + 11x2 - 4x - 4= 0
 (x +- 2)(3x - 2)(2x + 1) = 0
 
x = -2,
,
 
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-2, ,}

บทนิยามa < b     หมายถึง    a น้อยกว่า b
 a > b     หมายถึง    a มากกว่า b
   
• สมบัติของการไม่เท่ากัน
 กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
 1.สมบัติการถ่ายทอด     ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c
 2.สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c
 3.จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ
  a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0
  a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0
 4.สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์
  ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
  ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
 5.สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b
 6.สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
  ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
  ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b
   
บทนิยาม
a ≤ b หมายถึงa น้อยกว่าหรือเท่ากับ b
a ≥ b หมายถึงa มากกว่าหรือเท่ากับ b
a < b < c หมายถึงa < b และ b < c
a ≤ b ≤ c หมายถึงa ≤ b และ b ≤ c

• ช่วงของจำนวนจริง
 กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b
 1. ช่วงเปิด (a, b)
            (a, b) = { x | a < x < b }
 
  
 2. ช่วงปิด [a, b]
            [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }
 
  
 3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b]
           (a, b] = { x | a < x ≤ b }
 
  
 4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b)
           [a, b) = { x | a ≤ x < b }
 
  
 5. ช่วง (a, ∞)
           (a, ∞) = { x | x > a}
 
  
 6. ช่วง [a, ∞)
           [a, ∞) = { x | x ≥ a}
 
  
 7. ช่วง (-∞, a)
          (-∞, a) = { x | x < a}
 
  
 8. ช่วง (-∞, a]
          (-∞, a] = { x | x ≤ a}
 
  
• การแก้อสมการ
      อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว
      คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง
      เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง
  
 หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
 เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น
 1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
      ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
 2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
      ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
      ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12
วิธีทำ x + 3>12
 x + 3 + (-3) >12 + (-3)
  x>9
 เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞)
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของ 2x + 1 < 9
วิธีทำ 2x + 1<9
 2x + 1 + (-1) <9 + (-1)
  2x<8
  
(2x)
<
(8)
  x<4
 เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4)
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคำตอบของ 4x - 5 ≤ 2x + 5
วิธีทำ 4x - 52x + 5
  4x - 5 + 5 2x + 5 + 5
  4x2x + 10
  4x - 2x 2x + 10 - 2x
  2x10
  
(2x)
(10)
  x5
 
 



โดย lovemelovemydog ดูบทความของฉันทั้งหมดที่นี่
วันที่ 19 ก.ย. 52 17:10 น.
เนื้อหานี้เปิดอ่านแล้ว 150,069 ครั้ง


ความคิดเห็นทั้งหมด (เปิดดู 150,069 ครั้ง ตอบ 0 ครั้ง)

แสดงความคิดเห็นของท่านที่นี่



คำฮิต

โรงเรียน7 วิชาสามัญ , enn gat pat 57 , open house ,Asean , twitter , เด็ก กยศ , กสพท , เกมคณิตศาสตร์ , เกมคิดเลข , อาเซียน , เกมส์คิดเลข , ขยายเวลา , ข่าวการศึกษาต่างประเทศ , ม.ต้น ,ข่าวอาเซียน , ค้นหาตัวเอง , ค่าย , คำขวัญวันเด็ก , เคล็ดลับเรียนเก่ง , ของเล่นเคลียริ่งเฮ้าส์ , โควตา , จุฬาฯ , วันสันติภาพไทยทุนการศึกษา , แท๊บเล็ต , เหรียญ 10คาถาชินบัญชร ประชาคมอาเซียน , ประโยชน์ของอินเตอร์เน็ต , ประวัติวันแม่ , เฟสบุ๊ค , ม.ทักษิณ , อาเซียน 10 ประเทศ , ม.รังสิต 57 , มมส 57 มศว. , มหาวิทยาลัยนเรศวร , มหาวิทยาลัยพะเยา , รับตรง เกษตรศาสตร์ 57 , รับตรง มข 57 , ประกาศผลสอบ Admissions 57 ประถมศึกษารับตรงศิลปากร , เรียนต่อ , เรียนฟรี , ลาดกระบังฯ , เก็งคะแนน Admission 57 ,  เลื่อนเปิดเทอม ,อนุบาลวันตรุษจีน , สทศ , สมัคร clearing house , สอบตรง , อ.วิริยะ , เว็บโรงเรียนตัวอย่างงานวิจัย,ความคิดสร้างสรรค์ , เว็บสำเร็จรูป , เว็บหน่วยงาน , ทำเว็บฟรี , เว็บไซต์หน่วยงานราชการ , รายชื่อโรงเรียนทั่วประเทศ , โครงงานวิทยาศาสตร์ , สารสนเทศโทษของอินเตอร์เน็ต , GAT , PAT  , วันช้างไทย , วันสตรีสากล , MH17 , เครื่องบินตก , อุ้มบุญ , โค้ชเช , วันสงกรานต์GAT/PAT ครั้งที่ 2/2557 , Ice Bucket Challenge , บัตรสอบ , เอเชียศึกษา , ไวรัสอีโบลา , บันทึกความดี , แฟ้มสะสมผลงาน , วันจักรี , Portfolio , ประกาศผล GAT/PAT 57 , วันอาสาฬหบูชาสทศ.Admission 57 , วันภาษาไทยแห่งชาติ , มุดพกความดี , วันแม่ , วันวิสาขบูชา , เจนี่ , ประกาศผลรับตรงโควตา ม.ศิลปากร ประกาศผลรับตรง ม.ธรรมศาสตร์ , U-NET , ประกาศผลธรรมศาสตร์ , ประกาศผลจุฬา , ประกาศผลศิลปากร โควตา 28 จังหวัด , Variety , เลิกบุหรี่ , ยืนยันสิทธิ์ , วันสุนทรภู่ , หย่า , รับน้อง , วันวิทยาศาสตร์แห่งชาติ

คำค้นหา

สอบตรง , อาเซียน , มหาวิทยาลัย ,โรงเรียน , ศึกษาต่อ , asean , ศึกษาต่อต่างประเทศ , ทุนการศึกษา , เรียนต่อ , ประชาคมอาเซียน, ข่าวบันเทิง, คำราชาศัพท์, สพฐ, กยศ, ความรู้ ประถมศึกษา , ข่าวอาเซียน วิชาการ, portfolio แฟ้มผลงาน , ความรู้ มัธยมปลาย , โครงงานวิทย์ , ประวัติอาเซียน , ความรู้ , วิชาการ , อาจารย์วิริยะ , สาขาแห่งอนาคต , ดูหนัง หนังใหม่ ดูหนังออนไลน์ movie , เหรียญ 10ฟังเพลง เพลงใหม่ ฟังเพลงออนไลน์ เพลงฮิต , ดูทีวีย้อนหลัง ดูทีวี ดูทีวีออนไลน์ , ดูดวง ดวง ทำนายฝัน ดูดวงรายวัน , วันสันติภาพไทยรถยนต์มือสอง เครื่องเสียงรถยนต์ รถยนต์ , การ์ตูน รูปการ์ตูน ภาพการ์ตูน คลิปการ์ตูน , ข่าวบันเทิง ข่าวกีฬา ข่าวไทยรัฐ , ทวิสเตอร์ twitter วิธีเล่น twitter , เฟสบุ๊ค facebook คือ facebook วิธีเล่น facebook , ร้านอาหาร ร้านอาหารในกรุงเทพ ร้านอาหารแนะนำ ร้านอาหารเกาหลี , การ์ตูน , ซุปซิป ดารา , ผลบอล, ข่าว IT, หาเพื่อน , ข่าว, AEC, รถ, แบบทดสอบ, รูปภาพ , เกมส์รถแข่ง, เกมส์แต่งตัว หนังสือพิมพ์ , ข่าวประชาสัมพันธ์, วาเลนไทน์ , wallpaper , wallpaper น่ารัก , รับทำเว็บไซต์ , Hosting , รถมือสอง , รูปดารา , ประเมินโอกาสติดแอดมิชชัน , ภาพเคลื่อนไหว , ดูดวง , นิยาย , เกม , หางาน , แม่เหล็ก , เกมส์, สถานที่ท่องเที่ยว , สถานที่ท่องเที่ยวในประเทศไทย , Thailand Travel โหลดเพลง , งานราชการ , งาน , เกมส์จับคู่ Ice Bucket Challenge , เกมส์จับคู่ผลไม้ , เกมส์ปลูกผัก , เกมขุดทอง , อุ้มบุญเกมส์แข่งรถ , เกมส์ทำอาหาร , ประกาศผลสอบ Admissions 57 , เว็บไซต์โรงเรียน,ความคิดสร้างสรรค์ , เว็บไซต์หน่วยงานราชการ , เก็งคะแนน Admission 57 ,  สารสนเทศ , วันวาเลนไทน์ , นิทาน , กสพท , วันศิลปินแห่งชาติ , รับตรง ม.เกษตร 57 , Varietyโทษของอินเตอร์เน็ต , GAT , PAT , วันแม่ , แฟ้มสะสมผลงาน , MH17 , เครื่องบินตก , ประกาศผล O-NET ม.6 , โค้ชเช , วันสงกรานต์ , บัตรสอบ , GAT/PAT ครั้งที่ 2/2557 , เคลียริ่งเฮาส์เอเชียศึกษา , ไวรัสอีโบลา , อักษร ศิลปากร , วันโกหก , บันทึกความดี , Portfolioสมุดพกความดี , บริจาคโลหิตวันจักรี , โปรแกรมสร้างแฟ้มสะสมผลงาน , วันอาสาฬหบูชา , ประกาศผล GAT/PAT 57 , สทศ. , Admission 57 , วันภาษาไทยแห่งชาติ , เจนี่ , วันแม่แห่งชาติ , วันวิสาขบูชา , วันงดสูบบุหรี่โลก , ประกาศผลรับตรงโควตา 28 จังหวัด ม.ศิลปากรประกาศผลรับตรง ม.ธรรมศาสตร์ ,  U-NET , ประกาศผลจุฬา , กฏอัยการศึก , รัฐประหาร , วาไรตี้ , ประกาศผล , เลิกบุหรี่ , ยืนยันสิทธิ์ , เคลียริ่งเฮ้าส์ , วันสุนทรภู่ , หย่า , รับน้อง , วันวิทยาศาสตร์แห่งชาติ