ระบบจำนวนจริง

ชม 126,028 ครั้ง

• ระบบจำนวนจริง
จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย
1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265...
2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น
		เขียนแทนด้วย 0.5000...
		เขียนแทนด้วย 0.2000...



• ระบบจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ
1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น
2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม

• ระบบจำนวนเต็ม
จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน

1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I ^- โดยที่ I ^- = {..., -4, -3, -2, -1} เมื่อ I ^- เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I⁺ โดยที่ I⁺ = {1, 2, 3, 4, ...} เมื่อ I⁺ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I⁺ = {1, 2, 3, 4, ...}

• ระบบจำนวนเชิงซ้อน
นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
	x² = -1	∴ x = √-1 = i
	x² = -2	∴ x = √-2 = √2 i
	x² = -3	∴ x = √-3 = √3 i
จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i
ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers)

• สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติการสะท้อน a = a

2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c

4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c

4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1

นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

5. อินเวอร์สการคูณ a · a^-1 = 1 = a · a^-1, a ≠ 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a^-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0

6. สมบัติการแจกแจง

a( b + c ) = ab + ac

( b + c )a = ba + ca

จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้

ทฤษฎีบทที่ 1

กฎการตัดออกสำหรับการบวก

เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b

ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c

ทฤษฎีบทที่ 2

กฎการตัดออกสำหรับการคูณ

เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b

ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c

ทฤษฎีบทที่ 3

เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

a · 0 = 0

0 · a = 0

ทฤษฎีบทที่ 4

เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

(-1)a = -a

a(-1) = -a

ทฤษฎีบทที่ 5

เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ

ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

ทฤษฎีบทที่ 6

เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

a(-b) = -ab

(-a)b = -ab

(-a)(-b) = ab

เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น

• การลบจำนวนจริง

บทนิยาม

เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ

a- b = a + (-b)

นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b

• การหารจำนวนจริง

บทนิยาม

เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0

= a(b^-1)

นั่นคือ

คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b

บทนิยาม

สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₁x + a₀ = 0

เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ a_n, a_n-1, a_n-2 ,..., a₁, a₀ เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ a_n ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n"

ตัวอย่างเช่น

x³ - 2x² + 3x -4 = 0

4x² + 4x +1 = 0

2x⁴ -5x³ -x² +3x -1 = 0

• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2

สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₁x + a₀ = 0 เมื่อ n > 2 และ a_n, a_n-1, a_n-2 ,..., a₁, a₀ เป็นจำนวนจริง โดยที่ a_n ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ

ทฤษฎีบทเศษเหลือ

เมื่อ f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₁x + a₀

โดย n > 2 และ a_n, a_n-1, a_n-2 ,..., a₁, a₀ เป็นจำนวนจริง และ a_n ≠ 0

ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ

การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)

นั่นคือ เศษของ

คือ f(c)

ทฤษฎีบทตัวประกอบ

เมื่อ f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₁x + a₀

โดย n > 2 และ a_n, a_n-1, a_n-2 ,..., a₁, a₀ เป็นจำนวนจริง และ a_n ≠ 0

พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0

ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ

คือ 0

แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว

นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x)

ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ

เมื่อ f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₁x + a₀

โดย n > 2 และ a_n, a_n-1, a_n-2 ,..., a₁, a₀ เป็นจำนวนจริง และ a_n ≠ 0

ถ้า x -

เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม

ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว

(1) m จะเป็นตัวประกอบของ a_n

(2) k จะเป็นตัวประกอบของ a₀

ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้

1. ถ้า a_n = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a₀ และตัวประกอบ m ของ a_nที่ทำให้

) = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ

2. นำ x - c หรือ x -

ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร

จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1

3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 1

จงหาเซตคำตอบของสมการ x³ - 2x² - x + 2= 0

วิธีทำ

ให้ f(x) = x³ - 2x² - x + 2

∴ f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0

∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)

∴

= x² - x - 2

x³ - 2x² - x + 2 = (x-1)(x² - x - 2)

= (x-1)(x-2)(x+1)

x³ - 2x² - x + 2 = 0

(x-1)(x-2)(x+1) = 0

x = 1, 2, -1

∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 2

จงหาเซตคำตอบของสมการ x³ - 10x² + 27x -18 = 0

วิธีทำ

ให้ f(x) = x³ - 10x² + 27x -18

∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0

∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)

∴ x³ - 10x² + 27x -18 = (x-1)(x² - 9x + 18)

= (x-1)(x-3)(x-6)

x³ - 10x² + 27x -18 = 0

(x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0

x = 1, 3, 6

∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6}

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 3

จงหาเซตคำตอบของสมการ x³ - x² - 5x -3 = 0

วิธีทำ

ให้ f(x) = x³ - x² - 5x -3

∴ f(3) = 3³ -3² -5(3) - 3= 0

= 27 - 9 - 15 - 3

= 0

∴ x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x)

∴ x³ - x² - 5x -3 = (x-3)(x² + 2x + 1)

= (x-3)(x+1)(x+1)

x³ - x² - 5x - 3 = 0

(x-3)(x+1)(x+1) = 0

x = 3, -1

∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3}

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 4

จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x³ - 3x² - 17x +30 = 0

วิธีทำ

ให้ f(x) = 2x³ - 3x² - 17x +30

∴ f(2) = 2(2)³ -3(2)² -17(2) +30 = 0

= 16 - 12 - 34 +30

= 0

∴ x - 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)

∴ 2x³ - 3x² - 17x +30 = (x-2)(2x² + x - 15)

= (x-2)(2x - 5)(x+3)

2x³ - 3x² - 17x + 30 = 0

(x - 2)(2x - 5)(x + 3) = 0

x =2,

, -3

∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-3, 2,

}

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 5

จงหาเซตคำตอบของสมการ 6x³ + 11x² - 4x - 4 = 0

วิธีทำ

ให้ f(x) = 6x³ + 11x² - 4x - 4

∴ f(-2) = 6(-2)³ -11(-2)² -4(-2) - 4= 0

= -48 + 44 + 8 - 4

= 0

∴ x + 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)

∴ 6x³ + 11x² - 4x - 4 = (x+2)(6x² - x - 2)

= (x+2)(3x-2)(2x+1)

6x³ + 11x² - 4x - 4= 0

(x +- 2)(3x - 2)(2x + 1) = 0

x = -2,

∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-2,

}

บทนิยาม

a < b หมายถึง a น้อยกว่า b

a > b หมายถึง a มากกว่า b

• สมบัติของการไม่เท่ากัน

กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c

สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c

จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ

a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0

a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0

สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์

ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc

ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b

สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ

ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b

ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b

บทนิยาม

a ≤ b	หมายถึง	a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b
a ≥ b	หมายถึง	a มากกว่าหรือเท่ากับ b
a < b < c	หมายถึง	a < b และ b < c
a ≤ b ≤ c	หมายถึง	a ≤ b และ b ≤ c

• ช่วงของจำนวนจริง
	กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b
	1. ช่วงเปิด (a, b)
	(a, b) = { x \| a < x < b }


	2. ช่วงปิด [a, b]
	[a, b] = { x \| a ≤ x ≤ b }


	3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b]
	(a, b] = { x \| a < x ≤ b }


	4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b)
	[a, b) = { x \| a ≤ x < b }


	5. ช่วง (a, ∞)
	(a, ∞) = { x \| x > a}


	6. ช่วง [a, ∞)
	[a, ∞) = { x \| x ≥ a}


	7. ช่วง (-∞, a)
	(-∞, a) = { x \| x < a}


	8. ช่วง (-∞, a]
	(-∞, a] = { x \| x ≤ a}


• การแก้อสมการ
	อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว
	คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง
	เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง

	หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
	เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น
	1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
	ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
	2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
	ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
	ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 1

จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12

วิธีทำ

x + 3

∴

x + 3 + (-3)

12 + (-3)

∴

เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞)

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 2

จงหาเซตคำตอบของ 2x + 1 < 9

วิธีทำ

2x + 1

∴

2x + 1 + (-1)

9 + (-1)

(2x)

(8)

∴

เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4)

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 3

จงหาเซตคำตอบของ 4x - 5 ≤ 2x + 5

วิธีทำ

4x - 5

≤

2x + 5

4x - 5 + 5

≤

2x + 5 + 5

≤

2x + 10

4x - 2x

≤

2x + 10 - 2x

≤

(2x)

≤

(10)

≤

∴

เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5]

-------------------------------------------------------------------

หลักในการแก้อสมการตัวแปรเดียวกำลังสอง

กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. ถ้า ab = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0

2. ถ้า

= 0 แล้ว จะได้ a = 0

3. ถ้า ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0

4. ถ้า ab < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0

5. ถ้า ab ≥ 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรือ ab = 0

6. ถ้า ab ≤ 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรือ ab = 0

7. ถ้า

> 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0

8. ถ้า

< 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0

9. ถ้า

≥ 0 แล้ว จะได้

> 0 หรือ

= 0

10. ถ้า

≤ 0 แล้ว จะได้

< 0 หรือ

= 0

-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 4	จงหาเซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0
วิธีทำ		ถ้า (x - 3)(x - 4)	>	0 แล้วจะได้
		x - 3	>	0 และ x - 4 > 0
		x	>	3 และ x > 4

	∴	เมื่อ x - 3	>	0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x > 4
		หรือ x - 3	<	0 และ x - 4 < 0
		x	<	3 และ x < 4

	∴	x - 3	<	0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3
	นั่นคือ เซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0 คือ
	{ x \| x < 3 หรือ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ )
-------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 5	จงหาเซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0
วิธีทำ		ถ้า (x - 3)(x - 4)	<	0 แล้วจะได้
		x - 3	>	0 และ x - 4 < 0
		x	>	3 และ x < 4

	∴	เมื่อ x - 3	>	0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ 3 < x < 4
		หรือ x - 3	<	0 และ x - 4 > 0
		x	<	3 และ x > 4 ซึ่งเป็นไปไม่ได้

	∴	ไม่มีจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับ x - 3 < 0 และ x - 4 > 0
	นั่นคือ เซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0 คือ
	{ x \| 3 < x < 4 } = (3, 4)
-------------------------------------------------------------------

จากตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น สรุปเป็นหลักในการแก้อสมกาีได้ดังนี้
กำหนดให้ x, a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b แล้ว
1. ถ้า (x - a)(x - b) > 0 จะได้ x < a หรือ x > b
2. ถ้า (x - a)(x - b) < 0 จะได้ a < x < b
3. ถ้า (x - a)(x - b) ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x ≥ b
4. ถ้า (x - a)(x - b) ≤ 0 จะได้ a ≤ x ≤ b
5. ถ้า		> 0 จะได้ x < a หรือ x > b
6. ถ้า		< 0 จะได้ a < x < b
7. ถ้า		≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x > b
8. ถ้า		≤ 0 จะได้ a ≤ x < b
หรือ สามารถสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้

บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง

นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

• สมบัติของค่าสัมบูรณ์

1. |x| = |-x|

2. |xy| = |x||y|

4. | x - y | = | y - x |

5. |x|² = x²

6. | x + y | ≤ |x| +|y|

7. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก

|x| < a หมายถึง -a < x < a

|x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a

8. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก

|x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a

|x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a

-------------------------------------------------------------------

สัจพจน์ความบริบูรณ์ หรือสัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least upper bound axiom)
บทนิยาม	ถ้า S เป็นสับเซตของ R
	S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a
	สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า "ขอบเขตบนของ S"

บทนิยาม	ถ้า S เป็นสับเซตของ R
	a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ
	1. a เป็นขอบเขตบนของ S
	2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b

• สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 1	ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 6]
	จะได้ว่า 6 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 6 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 6
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 2	ให้ S เท่ากับช่วงเปิด (2, 7)
	จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 7
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 3	ให้ S = {1, 0, 3, 5, 4}
	จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 5
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 4	ให้ S = [-2, ∞]
	จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 5	ให้ S ≠ Ø
	จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขตบนน้อยสุด

สัจพจน์ความบริบูรณ์ หรือสัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least upper bound axiom)
บทนิยาม	ถ้า S เป็นสับเซตของ R
	S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a
	สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า "ขอบเขตบนของ S"

บทนิยาม	ถ้า S เป็นสับเซตของ R
	a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ
	1. a เป็นขอบเขตบนของ S
	2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b

• สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 1	ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 6]
	จะได้ว่า 6 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 6 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 6
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 2	ให้ S เท่ากับช่วงเปิด (2, 7)
	จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 7
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 3	ให้ S = {1, 0, 3, 5, 4}
	จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 5
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 4	ให้ S = [-2, ∞]
	จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 5	ให้ S ≠ Ø
	จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขตบนน้อยสุด

• การหารลงตัว

บทนิยาม

กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0
b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn
และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a

จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a

ตัวอย่างเช่น

3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้ 9 = 3n

-5 | 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n

6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n

สมบัติการหารลงตัว

ทฤษฎีบทที่ 1

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c

ทฤษฎีบทที่ 2

กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b

ทฤษฎีบทที่ 3

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy
เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ

การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว

1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)

บทนิยาม

จำนวนเต็ม p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}

2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers)

บทนิยาม

จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn

ตัวอย่างเช่น

       จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} ∴ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ
       จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} ∴ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ
       จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} ∴ 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

• ขั้นตอนวิธีการหาร

ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้
a = bq + r เมื่อ 0 r |b|
นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r

ตัวอย่างที่ 1

กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r

เขียนให้อยู่ในรูป

a = bq + r

48 = 7 × 6 +6

∴

q = 6 และ r = 6

• ตัวหารร่วม

ตัวหารร่วม

กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c
ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b

ตัวหารร่วมมาก

กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)

ตัวอย่างเช่น

จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48

วิธีทำ

ตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36

ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48

∴

ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12

∴

ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12

นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12

การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด

ตัวอย่างเช่น

จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48

วิธีทำ

ในที่นี้ r_k = 12
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12

จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

บทนิยาม

จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1

• ตัวคูณร่วมน้อย

ตัวคูณร่วมน้อย

กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว่าเป็น "ตัวคูณร่วมน้อย" (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b]

ตัวอย่างเช่น

จงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24

วิธีทำ

พหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, ...

∴

พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...

∴

พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, ...

พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72

นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72

ที่มา http://www.thaigoodview.com/