แบบฝึกหัดวิชาคณิตศาสตร์ ระดับชั้น ม. 5

ลบ แก้ไข

แบบฝึกหัดวิชาคณิตศาสตร์ ระดับชั้น ม. 5

โดยคุณครูพิศมัย ก้อนทองดี

ฟังก์ชันกำลังสอง

ความหมายของฟังก์ชัน จากความรู้เรื่องความสัมพันธ์ที่เรียนมาแล้ว พิจารณาความสัมพันธ์ต่อไปนี้

1. กำหนดให้

r1 = { (0,1), (1,2), (2,3), (1,1), (0,4) }
r2 = { (0,3), (1,1), (2,1), (3,4) }

ถ้าต้องการแสดงว่าสมาชิกใดของโดเมนมีความสัมพันธ์กับสมาชิกใดของเรนจ์อาจจะใช้วิธี

เขียนลูกศรโยงเรียกว่าการจับคู่ เช่นจากความสัมพันธ์ r1 และ r2เขียนแผนภาพแสดงการจับคู่ได

้ดังนี้

การจับคู่ระหว่างสมาชิกในโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r1 และ r2 มีข้อแตกต่างกันคือ

ใน r1 มีคู่อันดับที่สมาชิกตัวหน้าเหมือนกัน แต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน คือ (0,1) กับ (0,4) และ

(1,1) กับ (1,2) ส่วนใน r2 สมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับไม่เหมือนกันเลย นั่นคือแต่ละสมาชิก

ในโดเมนของ r2 จะจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ของ r2 เพียงตัวเดียวเท่านั้น

ความสัมพันธ์ที่มีลักษณะดังใน (1), (2) และความสัมพันธ์ r2 ใน (3) เรียกว่า ฟังก์ชัน

จากบทนิยามกล่าวได้ว่า ฟังก์ชัน f คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งถ้ามี (x,y) f และ (x,z) f แล้ว y = z

ความสัมพันธ์ที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกนั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับไม่เหมือน

กันเลย สรุปได้ว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชัน การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ r ซึ่งเขียนแบบบอกเงื่อนไข

เป็นฟังก์ชันหรือไม่อาจใช้วิธีการดังนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงแสดงว่า

f = { (x,y) | y = x2 + 1} เป็นฟังก์ชัน

สำหรับความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นฟังก์ชัน เราสามารถหาสับเซตของความสัมพันธ์นั้นที่เป็นฟังก์ชันได้

เช่น จากความสัมพันธ์ r = { (x,y) | y2 = x }


สามารถหาสับเซตของ r ที่เป็นฟังก์ชันได้ เช่น

r1 = { (x,y) | y = }
r2 = { (x,y) | y = - }

จากรูป ถ้าลากเส้นขนานกับแกน Y ให้ตัดกราฟแล้ว เส้นขนานกับแกน Y จะตัดกราฟของ r1 และ r2

เพียงจุดเดียวเท่านั้น ดังนั้น r1 และ r2 เป็นฟังก์ชัน

ในกรณีที่ความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันเรียกโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นั้นว่า โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันตามลำดับพิจารณาโดเมนและเรนจ์ของฟังกชันที่ได้จากการจับคู่ระหว่างสมาชิกของเซต A และเซต B ดังตัวอย่างต่อไปนี้

จากตัวอย่างที่ 6, 7, 8 และ 9 จะเห็นว่าโดเมนของฟังก์ชันคือ A และเรนจ์ของฟังก์ชันเป็นสับเซตของ B

ฟังก์ชันในตัวอย่างดังกล่าวนี้เรียกว่า ฟังก์ชันจาก A ไป B ( function from A into B )

โดยทั่วไปเมื่อกล่าวว่า f เป็นฟังก์ชัน จะหมายถึงฟังก์ชันจากสับเซตของ R ไป R

จากตัวอย่างที่ 7 และ 9 จะเห็นว่า โดเมนของฟังก์ชันคือ A และ เรนจ์ของฟังก์ชันคือ B

เรียกฟังก์ชันที่มีสมบัติเช่นนี้ว่า

ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ( function from A o­nto B )

จากตัวอย่างที่ 8 และ 9 จะเห็นว่าสมาชิกแต่ละตัวของ B ที่ถูกจับคู่ จะถูกจับคู่โดยสมาชิกของ A เพียง

ตัวเดียวเท่านั้น เรียกฟังก์ชันที่มีสมบัติเช่นนี้ว่า ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one function)

จากบทนิยามของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งข้างต้นจะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อ

ถ้า (x1,y) f และ (x2,y) f แล้ว x1 = x2

f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B (one-to-one function from A o­nto B หรือ

one-to-one correspondence) เขียนแทนด้วย หมายถึงฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่มี

Df = A และ Rf = B

การพิจารณาว่าฟังก์ชันใดจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่อาจพิจารณาได้จากกราฟของฟังก์ชันนั้น

โดยลากเส้นขนานกับแกน X

ถ้าไม่มีเส้นขนานกับแกน X เส้นใด ตัดกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้มากกว่าหนึ่งจุด ฟังก์ชัน

นั้นจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

แต่ถ้ามีเส้นขนานกับแกน X แม้เพียงเส้นเดียว ตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุดแล้วฟังก์ชันนั้นจะ

ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

แบบฝึกหัด

 




โดย สุระสิทธิ์ ดูบทความของฉันทั้งหมดที่นี่
วันที่ 19 ก.ค. 52 09:37 น.
เนื้อหานี้เปิดอ่านแล้ว 61,116 ครั้ง



เรื่องที่เกี่ยวข้อง